調和振動子とエルミート多項式
エルミート多項式と私たちの迷走
調和振動子の波動関数がエルミート多項式を使って表現されることは、どの本でもかなり詳しく書かれている。シュレーディンガー方程式が正確に解かれる数少ない典型例であり、多くの物理現象に応用されるためである。この項目をアップしたのは、『趣味で量子力学』（広江克彦著、理工図書）をテキストにして調和振動子を勉強しているとき、私たちに混乱があったからだ。この本での調和振動子の項では、ほぼ『量子力学入門』（阿部龍蔵著、岩波テキストシリーズ）の記述に沿った説明がされていく。最初はべき級数展開される形でこの多項式を述べ、次に一般的なエルミート多項式の定義を与え、この関数がエルミートの微分方程式を満たすことは「代入してみれば簡単に確認できるだろう。問題ないようだ。」（『趣味で量子力学』p.93）と続く。
ところが、私たちは「代入して」も分からなかった。そこで、この部分は、『量子力学入門』（阿部龍蔵著）やシッフ『量子力学（上）』（吉岡書店）のように、母関数を使って何とか理解した。
それから長い時間を経て、ある時『数学概論』（寺澤寛一著、岩波書店）を見て、この簡単な解決方法が書かれていることにようやく気づいた。『趣味で量子力学』の著者の広江さんの頭の中には、このことが最初からあったのではないか、と考えるに至った。私たちのそんな紆余曲折、迷走ぶりを参考にする人もいるかもしれないと考えて、この部分を記した。多くの本に書かれていることを並べただけだが、私たちの迷走ぶりを脇から見て、参考にされる方がいましたら、研究会として嬉しく思います。
